Предложение сложное, союзное, СПП с прид изъяснительным. Тип подчинения_ однородный (соподчинение, т.е. св. одн. придат.)
В нем 4 части: 1 БАРЫНЯ ПРИНЯЛА КАПЛИ, НО ТОТЧАС ЖЕ СЛЕЗЛИВЫМ ГОЛОСОМ СТАЛА ОПЯТЬ ЖАЛОВАТЬСЯ НА СОБАКУ - прост. двусост., распр. полн. ос. одн. сказ.)
2. ЧТО ЕЕ, БЕДНУЮ ЖЕНЩИНУ, ВСЕ БРОСИЛИ - прост. д-сост., полн. распр., осл обос. приложением
3. ЧТО НИКТО О НЕЙ НЕ СОЖАЛЕЕТ - пр. д-с . распр. полн. не осл.
4. ЧТО ВСЕ ХОТЯТ ЕЕ СМЕРТИ - как 3.
Согласование : слезливым голосом, бедную женщину
Управление: приняла капли, жаловаться на собаку, бросили ее.
Примыкание: опять жаловаться, стала жаловаться тотчас.