Решить уравнениеC_{n-1} ^{3} +C _{n} ^{3} =30

Question

Дан 1 ответ

Keiry_zn · Answer 1 · 2018-03-18T06:46:56+0000

$C_{n-1}^{3}+C_{n}^3=30$
Воспользуемся формулой биномального коэффициента:
$C_{n}^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Тогда исходное уравнение будет иметь вид:
$\frac{(n-1)!}{3!(n-1-3)!}+ \frac{n!}{3!(n-3)!}=30$
Домножим уравнение на 6 (оно же 3!), и сократим.
$\frac{(n-1)!}{3!(n-4)!}+ \frac{n!}{3!(n-3)!}=30 \\ (n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)=180$
Откроем скобки.
$(n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)=180 \\ (n-3)(n^2-3n+2)+n(n^2-3n+2)=180 \\ n^3-3n^2+2n-3n^2+9n-6 +n^3-3n^2+2n-180=0 \\ 2n^3-9n^2+13n-186=0$
Воспользуемся формулой Кардано.
Выполним замену $n=x- \frac{b}{3a}=x- \frac{-9}{6}=x+\frac{3}{2}$ .
Теперь мы можем привести уравнение к каноническому виду $x^3+px+q=0$ , воспользовавшись следующими формулами коэффициентов:
$p= \frac{3ac-b^2}{3a^2} = \frac{3*2*13-(-9)^2}{3*2^2}= \frac{78-81}{12}= \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \\ q= \frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}= \frac{2*(-9)^3-9*2*(-9)*13+27*2^2*(-186)}{27*2^3}= \\ = \frac{-1458+2106-20088}{216} = \frac{-19440}{216}=90 \\ x^3 - \frac{1}{4}x-90=0$
Вычислим Q.
$Q= (\frac{p}{3})^3+ (\frac{q}{2})^2= (-\frac{1}{12})^3 + (\frac{90}{2})^2 = -\frac{1}{1728} +2025=\frac{3499199}{1728}$
Так как Q больше нуля, вещественный корень у уравнения только один и вычисляется он по формуле:
$x= \sqrt[3]{ -\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}+ \sqrt[3]{ -\frac{q}{2}+ \sqrt{Q} } \\ x=\sqrt[3]{-\frac{-90}{2}- \sqrt{ \frac{3499199}{1728}} }+\sqrt[3]{-\frac{-90}{2}+ \sqrt{ \frac{3499199}{1728}} }=4\frac {1}{2}$
$n=4\frac {1}{2}+1\frac {1}{2}=6$
Проверка.
$\frac{(6-1)!}{3!(6-1-3)!}+ \frac{6!}{3!(6-3)!}=30 \\ \frac{120}{12}+ \frac{720}{36} =30 \\ 10+20=30$
Ответ:n=6