в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB боковая сторона AC равна 2√3 а cos угла...

Если вспомнить, что $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ - это косинус 30°,
то , т.к. ∆ АВС равнобедренный, ∠АСВ=∠САВ=30°, и ∠АВС=120°. Треугольник АВС - тупоугольный, высота АН проводится к продолжению ВС, и ∠АВН=60° как смежный углу АВС. Тогда АН=АВ•sin60°= $2 \sqrt{3}$ • $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ =3 (ед. длины)
Как вариант можно найти сторону АС. Если ВМ - высота ( медиана, биссектриса) равнобедренного ∆ АВС, то АМ=АВ•cos∠A= AB• $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ =3 ⇒АС=2•AH=6

В равнобедренном ∆ АBС ∠С=∠А. ⇒ синус ∠С=√(1-cos²A)=√(1-3/4)=1/2
АН=АС•sin 30°=6:2=3 (ед. длины)

Δ $ABC-$ равнобедренный
$AB-$ основание
$AC=2 \sqrt{3}$
$cos\ \textless \ A= \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$AH-$ ?

Δ $ABC-$ равнобедренный
$AC=CB$
$\ \textless \ A=\ \textless \ B$ ( по свойству углов при основании равнобедренного треугольника)
$cos\ \textless \ A= \frac{ \sqrt{3} }{2}$ ⇒ $\ \textless \ A=30к$
$\ \textless \ A=\ \textless \ C=30к$
$CK$ ⊥ $AB$
Δ $CKA-$ прямоугольный
$\frac{AK}{AC} =cos\ \textless \ A$
$AK=AC*cos\ \textless \ A$
$AK=2 \sqrt{3} * \frac{ \sqrt{3} }{2} =3$
$AK=KB$
$AB=2AK=2*3=6$
$AH$ ⊥ $BC$ (по условию)
Δ $AHB-$ прямоугольный
$\frac{AH}{AB}=sin\ \textless \ C$
$AH=AB*sin\ \textless \ C$
$AH=6*sin30к=6* \frac{1}{2} =3$

Ответ: 3