Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Доказываю.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠
B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому
признаку.
Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у
которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1
относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2
равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D
являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2.
Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на
одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну
перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.