Найти сумму беск ряда sinx+sin2x/2!+sin3x/2!..........

Question 1

Question 2

да я понял , я просто сообразил , увидел аналог

Question 3

на счет квадратов завтра подумаю

Question 4

время обдумывания покажет

Question 5

$sinx+\frac{sin2x}{2!}+\frac{sin3x}{3!}+\frac{sin4x}{4!}+...+\frac{sin(nx)}{n!}$
Так как $e^{ix}=cosx+isinx$ , то теперь выражение удобно представим в виде такой форме.
Заметим что в ряде Тейлора
   $e^{ix}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$
откуда $e^{e^{ix}}-1=\frac{e^{ix}}{1!}+\frac{e^{2ix}}{2!}+\frac{e^{3ix}}{3!}+...+ \frac{e^{nix}}{n!}$
то есть искомая сумма есть мнимая часть суммы ряда .
так как $e^{ix}=cosx+isinx\\ e^{cosx+isinx}-1 = (cos(sinx)+isin(sinx))*e^{cosx}-1\\$
Видна что наша сумма равна
   $e^{cosx}*sin(sinx)$

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-18T02:36:18+0000

$sinx+\frac{sin2x}{2!}+\frac{sin3x}{3!}+\frac{sin4x}{4!}+...+\frac{sin(nx)}{n!}$
Так как $e^{ix}=cosx+isinx$ , то теперь выражение удобно представим в виде такой форме.
Заметим что в ряде Тейлора
   $e^{ix}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$
откуда $e^{e^{ix}}-1=\frac{e^{ix}}{1!}+\frac{e^{2ix}}{2!}+\frac{e^{3ix}}{3!}+...+ \frac{e^{nix}}{n!}$
то есть искомая сумма есть мнимая часть суммы ряда .
так как $e^{ix}=cosx+isinx\\ e^{cosx+isinx}-1 = (cos(sinx)+isin(sinx))*e^{cosx}-1\\$
Видна что наша сумма равна
   $e^{cosx}*sin(sinx)$