диффиренциальные уровнения

Это уравнение с разделяющимися переменными. для его решения нужно представить y' как $y'=\frac{dy}{dx}$ и подставить в уравнение:

$\frac{dy}{dx}=(x+3)y^2$ умножим обе части на dx и разделим на $y^2$ , получим:

$\frac{dy}{y^2}=(x+3)dx$

Теперь берем интеграл от обоих частей:

$\int\frac{dy}{y^2}=\int(x+3)dx \\ -\frac{1}{y}=\frac{x^2}{2}+3x+C, \ C=const$

Теперь выражаем y(x) (для этого и левую и правую части умножим на 2y), получаем:

$-\frac{2y}{y}=(\frac{x^2}{2}+3x+C)2y \\ -2=(x^2+6x+C_1)y \\ y=-\frac{2}{x^2+6x+C_1}=-\frac{2}{x(x+6)+C_1}, \ C_1=const$ , где $C_1=2C$

Ответ: $y(x)=-\frac{2}{x(x+6)+C_1}$