Решить дифференциальное уравнение
xy' + y(ln(y/x) - 1) = 0
y' + (y/x)(ln(y/x) - 1) =0
y' = (y/x)(1 - ln(y/x))
Получили однородное дифференциальное уравнение так как
функция (y/x)(1-ln(y/x)) однородная нулевого порядка
или если подставить вместо х и у kx и ky то получим
(ky/kx)(1 - ln(ky/kx)) =(k^0)*(y/x)(1 - ln(y/x))
Положим y = ux или u = y/x, y' = xu'+ u
Подставим в исходное уравнение
xu'+ u = u(1 - ln(u))
xu' = u - uln(u) - u
xu' = uln(u)
Получили уравнение с разделяющимися переменными
u'/(uln(u)) = 1/x
du/(uln(u)) = dx/x
Интегрируем обе части уравнения
ln(ln(u)) =ln(x) + ln(C)
ln(u) = Cx
u = e^(Cx)
Находим общее решение исходного уравнения
у = xu = xe^(Cx)
Ответ: у = xe^(Cx)