Глагол выспИшься (н.
ф. выспаться)
1. Глагол ВЫспатьСЯ образован
приставочно-суффиксальным способом от глагола СПАТЬ.
2. У глагола СПАТЬ
ударные личные окончания
(спИшь, спИт, спИм,
спИте, спЯТ).
В этом случае, по
правилу, спряжение глагола определяется по гласной в ударном окончании.
Судя по гласной И в
ударных личных окончаниях глагола СПАТЬ, он относится ко второму спряжению.
3. Как известно, приставки и постфикс -СЯ не могут изменить спряжение глагола, оно останется таким же, как у исходного.
А значит (см. выше)
и глагол ВЫСПАТЬСЯ относится ко второму спряжению, поэтому выспИшься.