Сечение сферы - окружность.
На рисунке - сечение сферы, проходящее через ее центр и перпендикулярное данным сечениям.
1. Пусть оба сечения находятся по одну сторону от центра сферы.
АВ - диаметр большего сечения, К - его центр,
CD - диаметр меньшего сечения, Н - его центр.
Отрезок, соединяющий центр сферы и центр сечения, перпендикулярен сечению и является расстоянием от центра сферы до него.
Тогда ОК - расстояние от центра сферы до большего сечения, ОН - до меньшего.
КН = 3 см,
ОК = х см.
Из прямоугольных треугольников АКО и СНО получаем систему уравнений:
x² = R² - 144
(x + 3)² = R² - 81
x² = R² - 144
x² + 6x + 9 = R² - 81 вычтем из второго первое:
6x + 9 = 63
6x = 54
x = 9
R = √(144 + 81) = √225 = 15 см
Sсф = 4πR² = 4π · 225 = 900π см²
2. Данные сечения находятся по разные стороны от центра сферы.
Из тех же прямоугольных треугольников получаем систему:
x² = R² - 144
(3 - x)² = R² - 81
x² = R² - 144
9 - 6x + x² = R² - 81 вычтем из первого второе
6x - 9 = - 63
6x = - 54
x = - 9 не подходит по смыслу задачи.
Значит, второй вариант расположения сечений невозможен.
Ответ: Sсф = 900π см²