Центр окружности, описанной около трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для начало выведем некие следствия, пусть наши основания большее и меньшее соответственно равны $b,c$ . Пусть высота $h$ тогда по условию
$\frac{b+c}{2}=h\\$ . Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как $a$ , диагонали у трапеции равны $d_{1}=d_{2}=d$ . Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна
$S=\frac{d*d*sin90}{2}=\frac{d^2}{2}$ , с другой стороны
$S=\frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2$ из чего следует $d^2=2h^2\\ d=\sqrt{2}h$
Рассмотрим треугольник $BCD$ радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций $ABCD$ .
Площадь треугольника $S_{BCD}=\frac{c*h}{2}$ , так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений $3:4$ (как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как $3x;4x$ . Тогда высота трапеций и треугольника будет равна $h=7x$ . Значит площадь треугольника
$S_{BCD}=\frac{7x*c}{2}$ . Как известно по формуле $R=\frac{abc}{4R}$ вычислим наш радиус $R=\frac{7x\sqrt{2}*a*c}{4*\frac{7x*c}{2}}=10\\ a=\frac{20}{\sqrt{2}}$ . Теперь можно поступить так
1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения
2) Выразим радиус по формуле $R=\frac{adc}{4\sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}}$

1) $(\frac{c}{2})^2+(3x)^2=10^2$
2) если все подставить перейдем на такое уравнение
$R=\frac{140cx}{\sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}\sqrt{98x^2+280x-c^2+200}}$ оно равна 10

1) $c^2=400-36x^2\\$ подставляя во второе уравнение
$\frac{140x\sqrt{400-36x^2}}{\sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}\sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10$
откуда решая это уравнение получаем
$x=2$ тогда основание нижнее равна
$c=\sqrt{400-36*4}=16\\ \frac{b+16}{2}=14\\ b+16=28\\ b=12$
Ответ основания равны 16 и 12

Матов_zn (224k баллов) 17 Март, 18