Найдите наименьшее значение функции: а)p(t)=t^2-2t+1; б)s(t)=t^2+2t+2; в)y(x)=2x^2+8x+11.

А)
0,\ t\in(1;+\infty);\\ p_{min}=p(1)=1-2+1=0;" alt="p(t)=t^2-2t+1;\\ p_{min}-?;\\ p'(t)=2\cdot t^{2-1}-2\cdot t^{1-1}+0=2t-2=0;\\ t=1;\\ p'(t)<0,\ t\in-\infty;1);\\ p'(t)>0,\ t\in(1;+\infty);\\ p_{min}=p(1)=1-2+1=0;" align="absmiddle" class="latex-formula">

б)
0,\ t\in(-1;+\infty);\\ s_{min}=s(-1)=1-2+2=1; " alt="s(t)=t^2+2t+2;\\ s_{min}-?;\\ s'(t)=2\cdot t^{2-1}+2\cdot t^{1-1}+0=2t+2=0;\\ t=-1;\\ s'(t)<0,\ t\in(-\infty;-1);\\ s'(t)>0,\ t\in(-1;+\infty);\\ s_{min}=s(-1)=1-2+2=1; " align="absmiddle" class="latex-formula">

в)
0,\ t\in(-2;+\infty);\\ y_{min}=y(-2)=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+11=2\cdot4-16+11=\\ =8-16+11=11-8=3" alt="y(x)=2x^2+8x+11;\\ y_{min}-?;\\ y'(x)=2\cdot2\cdot x^{2-1}+8\cdot x^{1-1}+0=4x+8=0;\\ x=-2;\\ y'(x)<0,\ x\in(-\infty;-2);\\ y'(x)>0,\ t\in(-2;+\infty);\\ y_{min}=y(-2)=2\cdot(-2)^2+8\cdot(-2)+11=2\cdot4-16+11=\\ =8-16+11=11-8=3" align="absmiddle" class="latex-formula">

специально для 7 класса
а)
$p(t)=t^2-2t+1=t^2-2\cdot t\cdot1+1^2=\left(t-1\right)^2;\\ (t-1)^2\geq0;\\ p_{min}=0;$

б)
$s(t)=t^2+2t+2;\\ t^2+2\cdot t\cdot 1+1^2-1^2+2=(t+1)^2-1+2=(t+1)^2+1;\\ (t+1)^2\geq0;\\ (t+1)^2+1\geq1;\\ s_{min}=1;\\$

в)
$y(x)=2x^2+8x+11;\\ 2x^2+8x+11=(\sqrt2x)^2+2\cdot\sqrt2x\cdot2\sqrt2+(2\sqrt2)^2-(2\sqrt2)^2+11=\\ =(\sqrt2x+2\sqrt2)^2-8+11=`(\sqrt2x+2\sqrt2)^2+3;\\ (\sqrt2x+2\sqrt2)^2\geq0;\\ (\sqrt2x+2\sqrt2)^2+3\geq3;\\ y_{min}=3$