Найти частное решение дифференциального уравнения
y" -3y' +2y = 0 при х=0 у=2 у' =3
Решение: уравнение y" -3y' +2y = 0 является
однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Запишем характеристическое уравнение
k² -3k +2 =0
D =3² - 4*2 =1
k1 =(3-1)/2=1
k2=(3+1)/2=2
общее решение однородного уравнения :
y = C1*e^(k1x) + C2*e^(k2x), где С1 и С2 – константы
Запишем общее решение нашего уравнения
y = C1*e^x + C2*e^(2x)
Для нахождения С1 и С2 решим систему уравнений
{y = C1*e^x + C2*e^(2x)
{y' = C1*e^x + 2C2*e^(2x)
Подставим в систему уравнений начальные условия
при х=0 у=2 у' =3
{2 = C1 + C2
{3 = C1 + 2C2
От второго уравнения отнимем первое уравнение
_ C1 + 2C2 = 3
C1 + C2 = 2
-----------------------------
С2 = 1
Из первого уравнения находим С1
C1 = 2 - С2 = 2-1 =1
Запишем частное решение дифференциального уравнения
y = e^x + e^(2x)
Ответ: y = e^x + e^(2x)