Правильная четырехугольная пирамида вписана в шар. Объем пирамиды равен V , угол между...

Question

Правильная четырехугольная пирамида вписана в шар. Объем пирамиды равен V , угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью ее основания равен a (альфа). Найти объем шара. ЗЫ: почти решил, подскажите формулу выражения объема шара через объем пирамиды - не могу найти чего-то =)

Answer 1

Радиус шара равен радиусу окружности. описанной вокруг правильного тр-ка со стороной а:

R = a/√3

Высота треугольного основания равна h = 0,5a√3

Площадь основания пирамиды равна Sосн = а·0,5a√3/2 = a²√3/4

Высота Н пирамиды равна радиусу R, т.е Н = a/√3

Объём пирамиды V = 1/3 Sосн·Н = 1/3 · a²√3/4· a/√3 = а³/12

отсюда

а³ = 12V

Объём шара равен

Vш = 4πR³/4  = 4π·a³/(12√3)= π·a³·√3/9

Подставим сюда а³ = 12V

Vш =  π·12V·√3/9 = 4πV√3/3

Ответ: Vш = 4πV√3/3