сколько действительных корней имеет уравнение logx(3x^2-2)=4

$log_{x}(3x^2-2)=4$

Для начала найдем ОДЗ:

0} \atop {x>0}} \right." alt="\left \{ {{3x^2-2>0} \atop {x>0}} \right." align="absmiddle" class="latex-formula">

Первое уравнение решим отдельно.

3x^2 -2>0

3x^2 -2=0

x^2=2/3

$x_1=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$x_2=-\sqrt{\frac{2}{3}}$

Чертим координатную прямую, отмечаем точки, расставляем знаки. Рисунок добавлю во влажения.

Решением этого уравнения будет промежуток $(-\infty;-\sqrt{\frac{2}{3}})\cup(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$

А решением системы будет являться $(\sqrt{\frac{2}{3}};+\infty)$

Теперь начнем решение. Представим 4 в виде логорифма по основанию x.

$log_x(3x^2-2)=log_x(x^4)$

Так как основания равны, то знак логорифма можно опустить.

3x^2 -2 =x^4

x^4 - 3x^2 +2 =0

Это биквадратное уравнение. Введем обозначения

x^2 = a, $a\geq0$

a^2 -3a+2=0

По теореме Виета a1=2, a2=1

Теперь найдем х:

x^2= 2 x^2=1

$x_1=\sqrt{2}$ x=±1

$x_2=-\sqrt{2}$

Выберем корни, входящие в ОДЗ. Таковыми являются $\sqrt{2}$ и 1.

Ответ: $\sqrt{2}$ и 1