Найти непрерывность функций y=2x^2+2

Question

Дан 1 ответ

M0RDOK_zn · Answer 1 · 2018-03-17T11:39:42+0000

Пусть функция $f(x)=x^2+2$ определена на множестве E $E\subseteq |R$
Пусть $\delta=\frac{\epsilon}{2x_0+1}$ где $x_0 \in E$ .
Понятно, что для любого $x$ на области $\delta$ от $x_0$ (то есть: $x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)$ ) выполняется $|x+x_0|<|2x_0+ \frac{\delta}{2}|$ .
Следовательно, для $\delta<2$ , выполняется $|x+x_0|<|2x_0+1|$ .

\ \ \ |x^2-x_0^2|< |x-x_0|\cdot|2x_0+1|<\delta|2x_0+1|=\epsilon" alt="|(x^2+2)-(x_0^2+2)|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0|\cdot|x+x_0| < |x-x_0|\cdot|2x_0+1| \\ \delta= \frac{\epsilon}{x_0+1} \ \ \ => \ \ \ |x^2-x_0^2|< |x-x_0|\cdot|2x_0+1|<\delta|2x_0+1|=\epsilon" align="absmiddle" class="latex-formula">

Получили, что для любого 0" alt="\epsilon > 0" align="absmiddle" class="latex-formula"> есть $\delta=\frac{\epsilon}{x_0+1}<1$ , на области которой выполняется $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
(Проще говоря:
0 \ \ \exists\delta>0 \ \ : \ \ |x-x_0|<\delta \ \ \bigwedge \ \ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon" alt="\forall \epsilon>0 \ \ \exists\delta>0 \ \ : \ \ |x-x_0|<\delta \ \ \bigwedge \ \ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon" align="absmiddle" class="latex-formula">). Следовательно - $\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$ .
Что и требовалось доказать.
Для $x_0=-1$ нужно отдельно доказать предел $\lim_{x \to -1} f(x)=f(-1)$ .

Теперь в чём проблема самого вопроса: мы только что доказали непрерывность функции на любом подмножестве $|R$ . Но! Множество натуральных чисел $|N$ тоже подмножество $|R$ , значит $f:|N \longrightarrow |R$ тоже непрерывна, получается - доказали что $f$ непрерывна на области определения? Известно, что $g(x) \frac{1}{x}$ тоже непрерывна на области определения, но $g$ , понятное дело, не определена на $|R$ !
Потому вопрос, ИМХО, поставлен не верно (претензия не к тебе, а скорее к преподавателям твоим). Правильно задать вопрос указывая то множесто точек, которое интересует: к примеру "непрерывна на $|R$ " или, "непрерывна на отрезке $(x_0-a,x_0+a)$ "...
Тем более, что есть понятие "равномерная непрерывность" - свойство области, а не так, как "непрерывность" - свойство точки. Отсюда и непонимание.
А то получается: спрашивают об области, а проверяют точку.
Будут вопросы - пиши.

P.S. Исправил ошибки в наборе символов. Текста много :)