Системы:х+у-ху=-14х+у+ху=2 х^2+y^2-xy=3 х+у-ху=1

Question

Дан 1 ответ

math89_zn · Answer 1 · 2018-02-07T08:54:43+0000

1)

$\begin{cases} x+y-xy=-14\\x+y+xy=2 \end{cases}$

Прибавим к 1му уравнению второе и получим:

2(х+y)=-12

x+y=-6

x=-6-y

Подставим допустим во 2 уравнение системы, получим

-6-y+y-(6+y)y=2

$-6y-y^2-6=2 \\ y^2+6y+8=0$

По теореме Виета корни будут: $y_1=-2 \\ y_2=-4$

Находим х, получаем

$x_1=-6+2=-4 \\ x_2=-6+4=-2$

Ответ: решением системы являются пары чисел (х,у): (-4,-2), (-2, -4)

2)

$\begin{cases} x^2+y^2-xy=3\\x+y-xy=1\end{cases}$

Выразим из второго уравнения х, получим:

$x(1-y)+y=1 \\ x(1-y)=1-y \\ x=\frac{1-y}{1-y}=1$ , только при условии, что $y\neq1$ (это рассмотрим отдельно)

Теперь подставляем х=1 в 1 уравнение системы и получаем:

$1+y^2-y=3 \\ y^2-y-2=0$

По теореме Виета:

$y_1=2, y_2=-1$

Теперь рассмотрим случай, когда y=1, является ли он решением:

Подставляем в 1 и 2 уравнение системы и получаем:

$\begin{cases} x^2+1-x=3\\x+1-x=1\end{cases} \\ \\ \begin{cases} x^2-x-2=0\\1=1\end{cases}$

По теореме Виета получаем $x_1=2, x_2=-1$

Т.е у нас получаются следующие пары решений (х,у): (1,2), (1,-1), (2,1), (-1,1)

Ответ: решение системы являются следующие пары решений (х,у): (1,2), (1,-1), (2,1), (-1,1)