Помогите пожалуйста понять принцип решения... ох уж эти степени...

Почти универсально в таких примерах - метод математической индукции.
а) Для n = 1 утверждение верно. Пусто оно верно для n = k. Докажем, что оно верно и для n = k + 1:
$2\cdot4^{k+1}+5^{2k+3}=8\cdot4^k+25\cdot5^{2k+1}=4(2\cdot4^k+5^{2k+1})+21\cdot5^{2k+1}$
Первое слагаемое делится на 7 по предположению, второе делится на 7, т.к. 21 делится на 7, тогда всё делится на 7, и индукционное предположение доказано.
По принципу мат. индукции утв. верно для всех натуральных n.

Аналогично б):
$7^{2k+3}+3\cdot9^{k+1}=49\cdot7^{2k+1}+9\cdot3\cdot9^k=40\cdot7^{2k+1}+9(7^{2k+1}+9^k)\vdots10$