В правильной шестиугольной призме противоположные грани параллельны.
В основаниях малые диагонали равны.
Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.
Точки А, С₁, В и D₁ не лежат в одной плоскости, поэтому прямые АС₁ и BD₁ скрещивающиеся.
AB║DE и AB = DE, значит АВD₁E₁ параллелограмм, ⇒ АЕ₁║BD₁.
Тогда ∠E₁AC₁ = ∠(АЕ₁ ; AC₁) = ∠(BD₁ ; AC₁) = α - искомый.
Найдем малую диагональ шестиугольника из ΔАВС по теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos120°
AC² = 9 + 9 - 2·3·3·(-1/2) = 18 + 9 = 27
АС = 3√3, АЕ = АС = 3√3.
ΔАЕЕ₁: ∠АЕЕ₁ = 90°, по теореме Пифагора
АЕ₁ = √(АЕ² + ЕЕ₁²) = √(27 + 16) = √43
ΔАСС₁ = ΔАЕЕ₁ по двум катетам, значит
АС₁ = АЕ₁ = √43
С₁Е₁ = АС = 3√3 (малая диагональ правильного шестиугольника)
Из ΔС₁АЕ₁ по теореме косинусов:
С₁Е₁² = АС₁² + АЕ₁² - 2·АС₁·АЕ₁·cosα
cosα = (АС₁² + АЕ₁² - C₁E₁²) / (2·AC₁·AE₁)
cosα = (43 + 43 - 27) / (2 · √43 · √43) = 59/86
α = arccos (59/86)