Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три
различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют
одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.
Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:
(12)
Если
прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты
этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).
Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12):
1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются;
2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны;
3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают.
Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.
Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?
Решение:
Решим систему уравнений: система имеет единственное решение,
следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет
координаты (-1;1).
Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?
Решение: Решим систему уравнений
Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.
Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?
Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.
Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).
Решение:
Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для
этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0,
откуда
Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0,
откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум
точками () и (2;1)
Искомое уравнение будет , или или откуда или x+5y-7=0