ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА! Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 5n^2 + 10...

Нужно доказать что:

$5n^2+10{\neq}m^2, m \in N$

Для этого достаточно доказать, что если

$5n^2+10=m^2,$ то m не будет натуральным числом.

Докажем это:

$5n^2+10=m^2 \\ m=\sqrt{5n^2+10}=\sqrt{5}\sqrt{n^2+2}$

$\sqrt{5}$ не является натуральным числом, это иррациональное число, т.к число $\sqrt{n}$ является иррациональным для любого натурального n, не являющегося точным квадратом.

$\sqrt{n^2+2}[$ даже если это выражение принадлежит к множеству натуральных чисел, то $\sqrt{5}\sqrt{n^2+2}$ не будет принадлежать множеству натуральных чисел, потому что $\sqrt{5}$ не является натуральным, а множество натуральных чисел замкнуто относительно умножения, т.е любое натуральное число может быть представлено только как произведение двух натуральных чисел.

Значит получили противоречие.

Следовательно, если $5n^2+10=m^2,$ , то m не будет натуральным числом.