Хотя на первый
взгляд может показаться, что у этих слов один корень с чередованием согласной
(картоф/картош), это заблуждение. Если обратиться к «Новому словообразовательному словарю русского языка для всех, кто хочет быть грамотным» А.Н. Тихонова, то мы
увидим, что в слове «картофель» корень слова — картофель. От него суффиксальным способом образовано
слово картошка:
картофель → картош - к - а (корень картош, суффикс к)
Словообразовательный процесс усёк часть корня и сопровождался чередованием корневой
согласной ф//ш.