решите неравенство 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0

Question

решите неравенство 9 в степени х - 3 в степени х - 6 > 0

Answer 1

9^x - 3^x - 6 > 0

3^2x - 3^x - 6 > 0

замена

3^x = y

ОДЗ: у > 0

y² - y - 6 > 0

найдём нули функции  f(y) = y² - y - 6

решим уравнение y² - y - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

√D = 5

y₁ = (1 - 5):2 = -2

y₁ = (1 + 5):2 = 3

График функции f(y) = y² - y - 6  квадратная парабола веточками вверх, поэтому неравенство y² - y - 6 > 0 имеет решение у∈(-∞; -2)U (3; +∞)

c учётом ОДЗ получаем у∈(3; +∞)

вернёмся к замене

3^x = 3

х = 1

Ответ: х∈(1; +∞)

 

 

 

Answer 2

0 <=> 3^{2x}-3^x-6>0 <=> 3^x(3^x-1)-6>0" alt="9^x-3^x-6>0 <=> 3^{2x}-3^x-6>0 <=> 3^x(3^x-1)-6>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

3^x(3^x+2-3)-6>0 <=> 3^{2x}+2*3^x-3*3^x-6>0" alt="<=> 3^x(3^x+2-3)-6>0 <=> 3^{2x}+2*3^x-3*3^x-6>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0 <=> (3^x+2)(3^x-3)>0 " alt="3^x(3^x+2)-3(3^x+2)>0 <=> (3^x+2)(3^x-3)>0 " align="absmiddle" class="latex-formula">

Так как  больше нуля при всех значениях x, то нам необходимо только найти при каких значениях x выражение 0" alt="3^x-3>0" align="absmiddle" class="latex-formula">. Ее легко решить и получить что x>1