∫arctg(3x)dx
Сделаем замену
u=arctg(3x) du=3/(1+(3x)^2)dx=3/(1+9*x^2)dx
dv=dx v=x
Тогда
∫arctg(3x)=x*arctg(3x)- ∫3x/(1+9*x^2)dx
Для того чтобы взять
∫3x/(1+9x^2)dx,
сделаем еще замену
t=1+9*x^2 dt=18xdx
xdx=dt/18
тогда
∫3x/(1+9x^2)dx=3*(1/18) ∫(1/t)dt = (1/6)*ln|t| +c = (1/6)*ln|1+9*x^2| +c
То есть в целом
∫arctg(3x)=x*arctg(3x)- (1/6)*ln|1+9*x^2| +c