(∛(2+√5))+(∛(2-√5))=?

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

Возведем в куб:

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

______________________________________________________________

$(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=$

$=4+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=$

$=4+3\sqrt[3]{-1}(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=4-3(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})$

Для простоты вычислений проведем замену:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a$

$\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b$

(a+b)³=4-3(a+b)

Сделаем еще одну замену: a+b=x

Получим следующее уравнение:

x³+3x-4 = 0

Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Один из корней легко угадывается x=1

Далее можно просто произвести деление столбиком и найти оставшийся многочлен:

x³+3x-4 = (x-1)(x²+x+4)

x²+x+4 = 0

корней на действительном поле не имеет.

В итоге значение выражения равно 1.