cм. чертеж.
М - центр АВС. О - центр описанного шара. Обозначим АО = ОЕ = R, OM = x.
При этом АЕ = а - сторона тетраэдра, АМ = a/√3 - радиус окружности, описанной вокруг АВС (или - просто - расстояние от центра АВС до вершины, я так думаю, нет смысла тратить место и время на объяснения "как это вычислить". Высота грани a*√3/2, а AM = 2/3 от этой высоты).
ЕМ = √(АЕ^2 - AM^2) = a*√(2/3); - высота тетраэдра.
OM = ЕМ - ОЕ = ЕМ - R = a*√(2/3) - R;
ОM = √(АО^2 - AM^2) = √(R^2 - a^2/3);
Получаем
a*√(2/3) - R = √(R^2 - a^/3); возводим в квадрат, приводим подобные, получаем
a = R*2*√(2/3); по условию R = 3*√3; => a = 6*√2;
Сторона тетраэдра а, высота а*√(2/3), площадь грани a^2*√3/4, объем
V = (a^2*√3/4)*(а*√(2/3))/3 = a^3*√2/12; подставляем значение
V = (6*√2)^3*√2/12 = 72;