Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D (x+1)y^2dxdy...

Для определения абсцисс концевых точек области В решим уравнения $y=3x^{2}$ и $y=3$ совместно, т.е. решим систему уравнений:

$\left \{ {{y=3x^{2},} \atop {y=3.}} \right.$ , отсюда

$3x^{2}=3$ , или $x^{2}=1$

$x_{1}=-1$ и $x_{2}=1$ - искомые абсциссы

Представим двойной интеграл в виде повторного:

$\int\int{(x+1)y^{2}}\, dxdy=$

$=\int\limits^{x_{2}}_{x_{1}} {x(\int\limits^{3}_{3x^{2}} {y^{2}} \, dy)} \, dx=\int\limits^{x_{2}}_{x_{1}} (x+1)[\frac{1}{3}(27-27x^{6})]dx=$

$=9\int\limits^{1}_{-1}(x+1-x^{6}-x^{7})dx=9[\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{8}}{8}]|\limits^{1}_{-1}=$

$=9[\frac{1}{2}+1-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}]=\frac{9(14-2)}{7}=15\frac{3}{7}$