Найти числа А,В, при которых справедливо равенство: 3x/(x^2+x-2)=(A/(x-1))+(B/(x+2)) В... - Все ответы

Дан 1 ответ

Разложим знаменатель левой части данного уравнения, являющийся квадратным трехчленом $x^{2}+x-2$ , на целые множители:

Из теоремы Виета найдем корни $x_{1}$ и $x_{2}$ нашего трехчлена:

$x_{1}+x_{2}=-b/a=-1/1=-1$

$x_{1}*x_{2}=c/a=-2/1=-2$

Отсюда подбором найдем искомые $x_{1}=-2$ , $x_{2}=1$

где $a$ , $b$ и $c$ - соотвественно коэффициент при неизвестной во второй степени, коэффициент при неизвестной первой степени и свободный член; $a=1$ , $b=1$ , $c=-2$

Тогда трехчлен примет вид:

$x^{2}+x-2=(x-x_{1})(x-x_{2})=(x+2)(x-1)$ --------(1)

Подставим в исходное уравнение вместо $x^{2}+x-2$ правую часть равенства (1) и приведем к общему знаменателю правую часть исходного уравнения:

$\frac{3x}{(x+2)(x-1)}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x+2)(x-1)}$ , отсюда получим равносильное уравнение на ОДЗ:

$3x=(A+B)x+(2A-B)$ -----(2)

Применим к (2) метод неопределенных коэффициентов, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными $A$ и $B$ :

$\left \{ {{A+B=3,} \atop {2A-B=0;}} \right.$ ------(3)

Систему (3) решим методом сложения-сложим почленно первое и второе уравнения системы (3):

$A+B+2A-B=3+0$ , отсюда $3A=3$ , отсюда $A=1$

Из второго уравнения системы (3) выразим $B$ через $A$ :

$B=2A=2*1=2$

Тогда искомое произведение $AB$ будет равно:

$AB=1*2=2$

Geometr_zn (378 баллов) 07 Фев, 18