sqr(х* корень пятой стапени(х))- корень 5 степени(х*sqr(х))=56

Question

Дан 1 ответ

Geometr_zn · Answer 1 · 2018-02-07T00:36:51+0000

Перейдем в исходном уравнении от корней к степеням с дробным показателем, тогда уравнение примет вид:

$(x*x^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}-(x*x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}=56$

В получившемся уравнении перемножим степени в скобках как степени с одинаковым основанием, получим в результате равносильное уравнение:

$(x^{\frac{6}{5}})^{\frac{1}{2}}-(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}=56$

Отсюда по свойству степеней получим равносильное уравнение, применив свойство степень в степени:

$x^{\frac{3}{5}}-(x^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{2}}=56$

Сделаем замену в последнем уравнении: $y=x^{\frac{3}{5}}$

Тогда последнее уравнении примет вид:

$y-56=\sqrt{y}$ -------(1)

Замечаем, что новая неизвестная $y$ должна удовлетворять условию:

56" alt="y>56" align="absmiddle" class="latex-formula">--------(2) что следует из уравнения (1)

Возведем обе части уравнения в квадрат, после приведя подобные, получим квадратное уравнение:

$y^{2}-113y+56^{2}=0$

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета:

$y_{1}+y_{2}=113$

$y_{1}*y_{2}=56^{2}=(8*7)^{2}=64*49$

Отсюда получим искомые корни:

$y_{1}=64$ , $y_{2}=49$

При этом корень $y_{2}$ посторонний, поскольку не удовлетворяет не равенству (2). Таким образом, исходное уравнение имеет один корень:

Вернем к старой неизвестной, получим:

$y_{1}=x^{\frac{3}{5}}=64=4^{3}$ , отсюда $x^{\frac{1}{5}}=4$

$x=4^{5}=1024$

Ответ: $x=1024$