чую я, Пифагоровым духом пахнет :)))))))
Трапеция ABCD, AD II BC, AD > BC; AC = 12;
P - середина ВС, Q - середина AD, PQ = 13/2;
Проводим CE II BD, точка E лежит на продолжении AD.
Ясно, что AE = AD + ВС, поэтому площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции (у них общая высота - расстояние от С до AD, - и средние линии равны).
Пусть К - середина АЕ. Легко видеть, что QK = (AD + ВС)/2 - AD/2 = BC/2, то есть РСКQ - параллелограмм. Поэтому CK = PQ = 13/2 - медиана прямоугольного треугольника АСЕ, проведенная к гипотенузе АЕ. Поэтому АЕ = 2*СК = 13. Ну, вот и прорезался Пифагор :))) В данном случае Пифагорова тройка 5,12,13 (кто не понял, это я вычислил СЕ = 5).
Поэтому площадь АВЕ, а, следовательно, и площадь трапеции ABCD, равна 5*12/2 = 30.