IsinxI=sinx*cosx Решите пожалуйста

Question

Дан 1 ответ

M0RDOK_zn · Answer 1 · 2018-03-17T02:57:56+0000

\ \ \ Cosx=\pm1 \\ Cosx=1 \ \ \ => \ \ \ x\in\{2\pi k:k \in \mathbb{Z}\} \\ Cosx=-1 \ \ \ => \ \ \ x \in \{\pi+2\pi k:k \in \mathbb{Z}\} \\ => \ x\in\{\pi k:k\in \mathbb{Z}\}" alt="|Sinx|=SinxCosx \ \ \ \forall x \in \{\pi k :k \in \mathbb{Z}\} \ \ \ 0=0 \\ \forall x \notin \{\pi k :k \in \mathbb{Z}\} \ \ \ | \pm1|=\pm1\cdot Cosx \ \ \ => \ \ \ Cosx=\pm1 \\ Cosx=1 \ \ \ => \ \ \ x\in\{2\pi k:k \in \mathbb{Z}\} \\ Cosx=-1 \ \ \ => \ \ \ x \in \{\pi+2\pi k:k \in \mathbb{Z}\} \\ => \ x\in\{\pi k:k\in \mathbb{Z}\}" align="absmiddle" class="latex-formula">

Уравнение разделил на два этапа:
1) Все значения $x$ , для которых $Sinx=0$ (тривиальный ответ)
2) Остальные значения $x$
Суть первого этапа в том, чтоб исключить деление на нуль когда будем сокращать на $Sinx$ . Во втором этапе мы исключили все $Sinx=0$ и потому имеем право на это выражение поделить.

$Im(Sinx) \in [-1,1]$ , следовательно для разных $x$ синус может получать как положительные, так и отрицательные значения, потому после сокращения остаётся $\pm 1$ .

Второй вариант решения: построить график $f(x)=|Sinx|$ , $\ \ g(x)=\frac{Sin2x}{2}$ . Общий период у функций: $\pi$ , пересечение происходит только в $0$ и $\pi$ .
На промежутке $(0,\pi)$ пересечений нет, потому как:
1) $max\{Sinx:x\in (0,\frac{\pi}{2})\}=1, \ \ \ max\{\frac{Sin2x}{2}:x\in(0,\frac{\pi}{2})\}=\frac{1}{2}$ , оба множества на данном отрезке - невыпуклые, следовательно - пересечений на $(0,\frac{\pi}{2})$ быть не может.
2) на промежутке $(\frac{\pi}{2},\pi)$ функция $g$ получает только отрицательные значения, потому - пересечение с положительной функцией невозможно.

Намного проще это всё нарисовать.
$f$ - выглядит как обычная синусоида, только все её части, проходящие ниже нуля зеркально копируются на положительную сторону.
$g$ - синусоида, "сжата" по горизонтали в 2 раза (потому $Sin2x$ ) и "сжата" по вертикали до $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ (потому, что $\frac{1}{2}\cdot Sin2x$ ).