Пирамида правильная, значит в основании лежит квадрат.Найдем значения элементов пирамиды. Из прямоугольного треугольника АМО имеем: Сторона основания равна из теоремы Пифагора а=4√2 (так как диагональ квадрата равна 8). Апофема грани найдется по Пифагору из прямоугольного треугольника НОМ, где она является гипотенузой, а катеты равны НО=2√2 (половина стороны) и ОМ=4√3.
НМ=√(НО²+ОМ²)=√(8+48)=√56=2√14.
Итак, боковое ребро пирамиды 8см, сторона пирамиды АВ=ВС=СD=DA=4√2см, высота МО=4√3см, апофема МН=2√14см.
Тогда: 1). Sбок=Sграни*4=(1/2)*МН*АВ*4 или Sбок=(1/2)*2√14*4√2*4=32√7см².
2) Vпир=(1/3)*So*h или Vпир=(1/3)*АВ²*МО или Vпир=(1/3)*32*4√3=128√3/3см³.
3) Угол между противоположными гранями - это угол между противоположными апофемами (по определению угла между плоскостями) или угол при вершине равнобедренного треугольника НМР, высота которого МО является и биссектрисой.
То есть Sin(α/2)=HO/MH или Sin(α/2)=2√2/2√14=√(1/7). Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2) (по формуле приведения). Но Cos(α/2)=√(1-Sin²(α/2))=√(6/7).
Тогда Sinα=2√(1/7)*√(6/7)=2√6/7≈0,6998. То есть угол равен arcSin0,7 или 44,4°.
Этот угол проще можно найти по теореме косинусов.
Cosα=(b²+c²-a²)/2bc. (α - между b и c). В нашем случае Cosα=(2МН²-а²)/2МН² или Cosα=(112-32)/112=0,714. угол равен arcCos0,714 или 44,4°.
Ответ: угол равен arcCos0,714 или 44,4°.
4) Все вершины нашей пирамиды лежат на поверхности описанной около нее сферы. Значит радиус этой сферы находится в точке О1 пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру (так как центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника).
Рассмотрим треугольник О1КМ, где точка К - середина ребра МD.
Это прямоугольный треугольник с гипотенузой О1D и углом КМО1=DМО=30° (показано выше). Пусть О1К=х. Тогда О1М=2х и по Пифагору О1М²=О1К²+МК² или 3х²=(8/2)², откуда х=4/√3, а МО1=2х=8/√3=8√3/3.
Но МО1 - это радиус описанного вокруг пирамиды шара. Значит Vш=(4/3)πR³ или Vш=(4/3)π(8√3/3)³ или
Vш=(4/3)π(8³*3√3/3³)=π*2048√3/27=π*131,379≈412,53см³.
5) Угол между боковым ребром АМ и плоскостью DМС - это угол между плоскостью и наклонной к этой плосеости. А это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость.
Проведем в плоскости DMC прямую TL параллельно CD. Опустим перпендикуляр из точки А на плоскость DMC. Этот перпендикуляр - отрезок АL, параллельный и равный высоте НТ.
Проекцией ребра АМ на плоскости DMC является расстояние от точки М до основания перпендикуляра (L), опущенного на плоскость DMC из точки А. Этот перпендикуляр (AL) равен перпендикуляру НТ из точки Н на апофему МР, так как прямая АВ параллельна DC, а значит параллельна плоскости DMC.
В прямоугольном треугольнике НМТ: sin(НМТ)=2√6/7 (найден выше).
Тогда НТ=НМ*Sin(НМТ) или НТ=(2√14*2√6)/7=(4√84)/7=(8√21)/7.
Синус угла между АМ и плоскостью равен НТ/АМ=(8√21)/7/8=√21/7=0,655.
Ответ: угол равен arcsin0,655 или ≈41°.