Наречие «так же» указывает на образ действия: он написал это слово так же как я (т.е. написал его таким же образом). Здесь можно задать вопрос «Как?
А союз «также» указывает на само действие: я написал слово, он также написал это слово (он тоже, вслед за мной, написал это слово). Здесь можно заменить «также» союзом «и» (я написал слово, и он написал это слово).