Скалярное произведение можно записать так: a•b=|a|•|b|*cosα.
В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами углов и точкой пересечения делятся пополам.
Тогда BD=6, AC=6√3.
а) (AB*AC)=|AB|*|AC|*Cos30 = 6*6√3*√3/2=54.
б) (AD*DB)=|AD|*|DB|*Cos60 = 6*6*(1/2)=18.
в) (AB+AD)*(AB-AD)=AC*DB*Cos90 =0.
2) Решить треугольник MNK, если N=30°, угол K=105°, NK= 3√2.
Решить треугольник - значит найти неизвестные значения его элементов.
Угол М=180°-105°-30°=45°(так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°).
По теореме синусов:
NK/Sin45=MK/Sin30.
MK=NK*Sin30/Sin45=3√2*(1/2)/(√2/2)=3.
MN/Sin105=MK/Sin30.
MN=MK*Sin105/Sin30.
Sin105=Sin(60+45)=Sin60*Cos45+Cos60*Sin45.
Sin105= (√6+√2)/4.
MN=3*(√6+√2)*2/4 =3*(√6+√2)/2=3√2(√3+1)/2 ≈5,8.
Ответ:
3)Найти синусы углов треугольника АВС, если А(1;7), В(-2;4), С(2;0).
Вектор АВ{-2-1;4-7}={-3;-3} |AB|=√[(-3)²+(-3)²]=3√2.
Вектор АC{2-1;0-7}={1;-7} |AC|=√[(1)²+(-7)²]=5√2.
Вектор ВC{2-(-2);0-4}={4;-4} |BC|=√[(4)²+(-4)²]=4√2.
Угол между векторами равен:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)].
CosA=(Xab*Xac+Yab*Yac)/[√(Xab²+Yab²)*√(Xac²+Yac²)]. Или
CosA=((-3)*1+(-3)*(-7))/[3√2*5√2]=18/30=0,6.
CosB=(Xab*Xbc+Yab*Ybc)/[√(Xab²+Yab²)*√(Xbc²+Ybc²)]. Или
CosB=((-3)*4+(-3)*(-4))/[3√2*4√2]=0.
CosC=(Xac*Xbc+Yac*Ybc)/[√(Xac²+Yac²)*√(Xbc²+Ybc²)]. Или
CosC=(1*4+(-7)*(-4))/[5√2*4√2]=32/40=0,8.
По формуле Sinα=√(1-Cos²α) найдем синусы углов.
SinA=0,8 SinB=1, SinC=0,6.
