Найдите сумму n - членов ряда ряда и бесконечную сумму 1/1*2*3 +1/2*3*4 +1/3*4*5...

Для начало проверим так ли это , по признаку сходимости . Преобразуем
домножим каждое слагаемое так что бы в итоге было
$\frac{1!}{3!}+\frac{1!}{4!}+\frac{2!}{5!}+\frac{3!}{6!}+\frac{4!}{7!}...$
если принять $n=0$ получим
$\sum_{n=0}^{ \infty}} \ \frac{n!}{(n+3)!}$ По признаку Даламбера получим то что ряд сходится . Теперь вычислим саму сумму, ряд можно представить как
$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}...)$
а в скобках это Треугольник Лейбница и он равен $\frac{1}{2}\\ S=\frac{1}{2}^2=\frac{1}{4}$

Запишем
$n=1\\ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}...\\\\ a_{1}= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ a_{2}= \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+3})\\ a_{3}= \frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+4})\\\\$
Суммирую , и заметим что если домножить на некое число получим
$S_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{n!}{(n+2)!})$
либо
$S_{n}=\frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}$