Защита Отечества названа в Конституции РФ и долгом, и обязанностью гражданина, потому что долг в данном случае несет смысл эмоциональный, связанный с особыми чувствами к Родине, Отечеству. "Твоя Родина, твой долг ее защищать". А обязанность несет формальный характер для гражданина государства, который имеет не только права, но также обязанности.
А их употребление рядом, вероятно, идет оттого, что эти понятия друг друга подразумевают и вытекают друг из друга.