Найти площадь области D. Рисунок вроде составил, а вот с продолжением проблеммы, заранее...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Первая окружность: $x^2+(y-1)^2=1$ с центром в $(0;1)$ и радиусом $1$
Вторая окружность: $x^2+(y-2)^2=4$ с центром в $(0;2)$ и радиусом $2$

Чуть повнимательнее. У меня такие же проблемы были, но потом рука привыкла.

А потом проинтегрировать в полярных координатах: полюс в начале координат, полярная ось направлена в положительную сторону оси X. Большую окружность представим в виде $r=4sin\theta$ , а маленькую - $r=2sin\theta$ . Две прямые соответствуют уравнениям $\alpha=30^o$ и $\beta=60^o$ . Площадь, заключенная между двумя прямыми (задаваемыми углами $\theta$ ) и полярной функцией, заданной уравнением $r=f(\theta)$ , вычисляется следующим образом:

$S=\frac{1}{2} \int\limits^\beta_\alpha {r^2} \, d\theta$

Дальше все ясно: найдем кусок площади большого круга и вычтем из него кусок площади маленького.

$S_1=\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /3}_{\pi/6} {(2sin\theta)^2} \, d\theta=2\int\limits^{\pi /3}_{\pi/6} {sin^2\theta} \, d\theta=2(\frac{\theta}{2}-\frac{1}{4}sin(2\theta)|^{\pi/3}_{\pi/6})= \\ =(\theta-\frac{1}{2}sin(2\theta))|^{\pi/3}_{\pi/6}=(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})-(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4})=\frac{\pi}{6}$

Площадь большого куска находится аналогично, она будет отличаться от найденной в 4 раза (там выносится 16 из под интеграла после возведения функции в квадрат). $S_2=\frac{2\pi}{3}$ .

Итак, $S=S_2-S_1=\frac{\pi}{2}$

nomathpls_zn (4.8k баллов) 16 Март, 18