Какое проверочное слово к слову цИновка?
Слово не наше. Вообще, после буквы "ц", если слышится "ы", то всегда пишется "и". Исключение: "Цыган на цыпочках сказал цыпленку цыц"
Циновка от словосочетания обрабатывать цинубелем (это такой немецкий рубанок)
дрёма
В корне после Ц всегда идет И