1.Учась в Москве,( деепр оборот) .... , затем опубликовал( выступил, опубликовал- однородные сказуемые)
2. Для потомков Жуковский-поэт романтик, создатель лирических стихов и баллад, переводчик, педагог.(однородные сказуемые)
3.он обучал будущую царицу, а затем... ( после союза "а" ставится запятая)
4. Друзьями Жуковского были Пушкин и Гоголь, вязким кий и герцен