сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро образует с её...

Т.к. SABC-правильная треугольная пирамида, в основании правильный треугольник
V=1/3*Sосн.*H
Sосн.=(а²√3)/4 (эта формула площади только для правильного треугольника)
Если вокруг треугольника описать окружность, то мы найдем радиус
R= $\frac{a}{ \sqrt{3} }$ =AO
угол SAO=45 градусов, cosA= $\frac{AO}{AS}$ , AS= $\frac{AO}{cos45}$ = $\frac{a}{ \sqrt{3} }$ / $\frac{ \sqrt{2} }{2}$ = $\frac{a*2}{ \sqrt{3}* \sqrt{2} }$ = $\frac{2a}{ \sqrt{6} }$
OS-высота пирамиды и т.к. она правильная то попадает в центр треугольника и центр описанной окружности
треугольник ASO-прямоугольный, то по т. Пифагора OS= $\sqrt{ (\frac{2a}{ \sqrt{6} }) ^{2}-( \frac{a}{ \sqrt{3} }) ^{2} } = \sqrt{ \frac{4a ^{2} }{6}- \frac{ a^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{2a ^{2} }{3}- \frac{a ^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{a ^{2} }{3} }= \frac{a}{ \sqrt{3} }$
V= $\frac{1}{3}* \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4} * \frac{a}{ \sqrt{3} } = \frac{a ^{3} }{12}$