Докажите (индукцией), что где a₁, a₂, ..., aₙ -- положительные действительные...

Question

Докажите (индукцией), что где a₁, a₂, ..., aₙ -- положительные действительные числа. Указание. Для перехода от n к (n + 1) докажите, что из предполодения об истинности формулы для n следует истинность её для 2n и для (n - 1). Для перехода от n к (n - 1) найдите число x такое, что

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

При n=1 верность неравенства очевидна.

При n=2, получаем известное верное неравенство, оно нам понадобится.

Теперь докажем, что из верности неравенство верно для n=m, следует его верность для n=2m.

В самом деле, пусть неравенство верно для n=m. Нам нужно доказать, что тогда верно и неравенство

Так как неравенство верно для n=m (по индуктивному предположению), можем записать такие два неравенства:

Теперь сложим эти неравенства и разделим обе части полученного на 2. Получится вот такое неравенство:

Но использовав неравенство для n=2 получаем:

Тогда и подавно

А теперь, следуя за Коши (который как раз первым доказал это неравенство), заметим, что из доказанного выше следует, что если неравенство верно для (где k - натуральное), то оно верно и для . Действительно, чтобы доказать это, достаточно положить , тогда и неравенство также верно. А так как неравенство верно для n=2, то по индукции отсюда получаем верность неравенства для всех остальных степеней двойки, то есть для чисел вида при любом натуральном . Это утверждение назовём Леммой 1.

Осталось доказать, что из верности неравенства для n=k, следует его верность для n=k-1. Это будет наша Лемма 2.

Ну что же, раз в задании дана такая превосходная подсказка - воспользуемся ей. Найдём такой x, о котором идёт речь в задании. Он выражается из данной в условии формулы очевидным образом, не буду на этом останавливаться:

Теперь пусть неравенство верно для произвольного n=k.

Применим это неравенство к числам :

Что получится в левой части мы знаем - среднее арифметическое чисел . Далее возводим неравенство в степень k и преобразовываем:

Получили как раз неравенство для n=k-1.

Собственно, неравенство можно считать доказанным. Лемма 1 и Лемма 2 решают вопрос для любого n. В самом деле, возьмём произвольное натуральное n. Очевидно, найдётся такое натуральное , что . Неравенство верно для этой степени двойки (Лемма 1). Но оно верно также и для всех натуральных чисел меньших её, это по индукции следует из Леммы 2. Тогда неравенство верно и для нашего произвольно выбранного n.

Comments

Рад был помочь

---

Прекрасное решение и пояснения. Спасибо большое за помощь