Дан треугольник с координатами вершин А(4;0;0), B(0;4;0). Вершина C треугольника лежит **...

Question

Дан треугольник с координатами вершин А(4;0;0), B(0;4;0). Вершина C треугольника лежит на положительной полуоси Oz. Найдите длину медианы CM, если AB^2/CB^2=2/5

Answer 1

Пусть координата точки С равна (0; 0; z).

АВ² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32.

АВ = √32 = 4√2.

Из заданного соотношения AB^2/CB^2=2/5  находим:

СВ² = АВ²*5/2 = 32*5/2 = 80.

Из треугольника СОВ имеем: z² + 4² = 80.

Отсюда z² = 80 - 16 = 64. z = +√64 = 8.

Проекция искомой медианы на плоскость хОу равна половине АВ как гипотенузы в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

То есть ОМ = 2√2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник СОМ.

Из него находим:

СМ = √(z² + ОМ²)  =√(64 + (2√2)² = √(64 + 8) = √72 = 6√2.

Ответ: СМ = 6√2.

​