Ответ:
1. Постились еженедельно, по старинному уставу. По уставу (какому?) старинному - прилагательное
2. По деловому костюму ползла гусеница. По костюму (какому?) деловому - прилагательное
3. Перед Татьяной он заливался по-соловьиному. Заливался (как? каким образом?) по-соловьиному - наречие
4. Солнце светит по-весеннему ярко. Светит (как? каким образом?) по-весеннему - наречие