50БАЛЛОВ!!!!!! Положительные числа x и y таковы, что xy=50. Найдите наименьшее возможное...

+91 голосов
3.6m просмотров

50БАЛЛОВ!!!!!! Положительные числа x и y таковы, что xy=50. Найдите наименьшее возможное значение выражения (x/2)+y. В этой задаче пришел к тому, что x*x+y*y( *-знак умножения) больше или равен 100. Это как подсказка. Ответ дать с полным объяснением, а не просто сказать ответ!

Математика (28 баллов) | 3.6m просмотров
+103

(x/2 +y ) / 2 ≥ √ ( x/2)*y ) ← неравенство Коши ; min (x/2 +y ) =2√( x/2)*y ) =2√25=10 . * * * (x/2)y=25 * * *

оставил комментарий (181k баллов)
Дан 1 ответ
+108 голосов

\displaystyle\\xy = 50\\x/2+y = \frac{x}{2} + \frac{50}{x} = \frac{1}{2}\left(x+\frac{100}{x}\right)

Найдем минимум выражения в скобках. Заметим что положительный x можно представить в виде x = t^2

\displaystyle\\t^2+\frac{100}{t^2} = t^2 - 20 + \left(\frac{10}{t}\right)^2+20 = \left(t-\frac{10}{t}\right)^2+20

Отметим, что получившееся выражение не может быть меньше 20, а значение 20 достигается при t^2 = 10 то есть при x = 10, y =5

И минимальное значение исходного выражения составляет 10/2 + 5 = 10

(152k баллов)
Похожие задачи