Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

Question

Дан 1 ответ

OneGyrus_zn · Answer 1 · 2024-08-31T01:13:14+0000

Ответ:

1)

нет решений

2)

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

3)

$y=3k-1\\x=3k(5k-2)$ , где $k$ - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

1)

$x^2 =2003y-1\\$

Очевидно, что 0" alt="x\neq 0 ; y>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

Заметим, что число $2003$ - простое ( сначала будет считать, что 0" alt="x>0" align="absmiddle" class="latex-formula">, в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

$x^{2002} = 2003k+1$ ( дает при делении на $2003$ остаток $1$ )

$x^2 = 2003y-1$

Возведем обе части равенства в $1001$ степень:

$(x^2)^{1001} = (2003y-1)^{1001}\\x^{2002} = (2003y-1)^{1001}\\$

Поскольку в биноме Ньютона : $(2003y-1)^{1001}$ каждый член, помимо члена $(-1)^{1001}$ , помножен на некоторую натуральную степень числа $2003$ , то $(2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1$ , поскольку $1001$ - нечетное.

Таким образом, $x^{2002}$ дает при делении на $2003$ остаток $-1$ или $2002$ , то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2)

$2^x +1 =3y^2$

Очевидно, что $x\geq 0$ ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что $x\geq 2$ , тогда $2^x$ делится на $4$ , а значит $2^x+1$ дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и $3y^2$ - нечетное, а значит $y$ - также нечетное.

$y=2k-1$ , где $k$ целое число

$3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3$ , где $n$ -целое число

Таким образом, $3y^2$ дает при делении на $4$ остаток $3$ , но $2^x+1$ дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда: $0\leq x\leq 1$

Проверим $x=0$

$2^0+1=3y^2\\2=3y^2$

Решений в целых числах нет.

Проверим $x=1$

$2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1$

То есть решение уравнения :

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

3)

$3x=5y^2+4y-1$

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

$5y^2+4y-1 = 0$

$D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)$

Поскольку, число $3$ простое , то хотя бы один из членов $y+1$ или $5y-1$ делится на 3

Необходимо заметить, что если $y+1$ делится $3$ , то $5(y+1) =5y+5$ , также делится на 3 , а значит 5y+5-6 =5y-1 делится на 3.

Обратное утверждение также верно, если $5y-1$ делится на $3$ , то $5y-1+6$ делится на 3.

$5y+5= 5(y+1)$ делится на $3$ , а поскольку

$5$ и $3$ -взаимнопростые, то $y+1$ делится на 3

Таким образом , для существования целых решений необходимо и достаточно, чтобы $y+1$ делилось на $3$

$y=3k-1$ , где $k$ - целое число.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много целых решений:

$y=3k-1\\x=(y+1)(5y-1)\\x=\frac{3k(5(3k-1)-1)}{3} = k(15k-6) =3k(5k-2)$ , где $k$ - целое число (может быть равно 0)

Возможно, в последнем уравнении есть ошибка, ибо очень просто.

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим!