Фразеологический оборот употреблен правильно в предложении:
Целый день ребенок предоставлен сам себе.
__
**Остальные:
Этот край – обетованный рай.
Корректно: земля обетованная // настоящий рай
Он протирал им всем очки, но никто ему не верил.
Корректно: Он им всем втирал очки, ...
Я костью лягу за своего ребенка.
Корректно: Я лягу костьми (костьми лягу) за своего ребенка.