На плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой....

Пусть всего $2n=100$ точек. Рассмотрим граф на этих вершинах. Рассмотрим вершину (пусть это вершина $A$ ) с наибольшей степенью. Пусть эта степень равна $u$ . Заметим, что у вершин, имеющих связь с $A$ нет ребер к другим вершинам, связанным с $A$ (иначе получился бы треугольник). Поэтому степень этих вершин не больше, чем $2n-u$ . Степени оставшихся не превосходят $u$ . Поэтому сумма степеней не превосходит $u(2n-u)+(2n-u)u=2u(2n-u)$ . Количество ребер не превосходит $2u(2n-u)/2=u(2n-u)\leq (\frac{u+2n-u}{2})^2=n^2=2500$ (последнее неравенство — следствие из н-ва между ср. арифм. и ср. геометр.)

С другой стороны, несложно привести пример: рассмотрим двудольный граф (две равные доли по 50 вершин) и проведем всевозможные ребра (их будет 50*50=2500).

Если же проведено более 2500 ребер, то образуется хотя бы один треугольник (на самом деле их будет хотя бы 50).

Ответ: 2500

** плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат ** одной прямой....

плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат одной прямой....