сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 боковая грань наклонена к... - Все ответы

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Ответ:

$27\sqrt{3}$ ед².

Объяснение:

Обозначим данную пирамиду буквами $EABC$ .

$AB=6$ ед.

Проведём высоту $EO$ . Точка $O$ - центр $\triangle ABC$ - точка пересечения, медиан, высот и биссектрис треугольника.

Проведём апофему $EH$ (апофема - это высота боковой грани пирамиды, проведённая из вершины пирамиды) к стороне $BC$ основания пирамиды.

Т.к. данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание пирамиды - правильный треугольник.

$\Rightarrow AB = BC = AC = 6$ .

Проведём высоту $AH$ в $\triangle ABC$ .

Т.к. $\triangle ABC$ - равносторонний ⇒ $AH$ - высота, медиана, биссектриса.

$\Rightarrow BH = HC = BC:2 = 6:2 = 3$

Высота $AH$ и апофема $EH$ имеют общее основание, а именно точку $H$ , т.к. $AH$ - медиана, а апофема $EH$ делит $BC$ пополам (по свойству).

$\angle EHO = 60^{\circ}$ .

Рассмотрим $\triangle AHC$ :

$\triangle AHC$ - прямоугольный, так как $AH$ - высота.

Найдём высоту $AH$ по теореме Пифагора: $(a^2 = c^2 - b^2)$

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ ед.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Точка O - пересечение медиан и делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины.

$\Rightarrow OH = 1/3AH = 1/3 \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$ ед.

$AO = 2/3AH = 2/3 \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ ед.

Рассмотрим $\triangle EOH$ :

$\triangle EOH$ - прямоугольный, так как $EO$ - высота.

Если угол прямоугольного треугольника равен $60^{\circ}$ , то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катета на $\sqrt{3}$ .

$EO = OH \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}= 3$ ед.

Найдём апофему по теореме Пифагора: $(c^2 = a^2 + b^2)$

$EH = \sqrt{EO^2 + OH^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ ед.

====================================================

$S$ полн. поверх. = S основ. + S бок.поверх.

$S$ осн. = $S_{\triangle ABC} = \dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ ед².

$S$ бок. поверх. = $1/2 \: \cdot$ ( $P$ осн. $\cdot \: L$ ), где $L$ - апофема.

$P$ осн. $= AB + BC + AC = 6 + 6 + 6 = 18$ ед.

⇒ $S$ бок. поверх. = $1/2\cdot(18 \cdot 2\sqrt{3}) = 18\sqrt{3}$ ед².

⇒ $S$ полн. поверх. = $9\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ ед².

Alyssa08_zn (22.7k баллов) 20 Авг, 24