Лф18) Если 0

Question

Дано ответов: 2

Olga8128_zn · Answer 1 · 2024-08-18T16:06:37+0000

Для логарифма $\displaystyle \log _x y$ Область Допустимых Значений (она же - ОДЗ) выглядит так (это нам понадобится для решения задачи):

0 \\x\ne1 \\y>0 \end{cases}\end{equation*}" alt="\log_xy \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}x>0 \\x\ne1 \\y>0 \end{cases}\end{equation*}" align="absmiddle" class="latex-formula">

A)

Рассмотрим логарифм $\log _a(a+1)$ . С точки зрения ОДЗ и того, что $0$ и $1 < a+1 < 2$ , с этим логарифмом все хорошо.

Но, так как основание логарифма меньше единицы, то его значение больше ноля при $0 < a+1 < 1$ , а меньше ноля - при 1" alt="a+1>1" align="absmiddle" class="latex-formula">. Из данного в задаче условия на $a$ имеем, что $1 < a+1 < 2$ . Значит, выражение этого логарифма отрицательно.

Но что тогда можно сказать о втором логарифме? Для него подлогарифмическое выражение меньше ноля, что нас абсолютно не устраивает.

Итог: выражение не имеет смысла.

B)

Рассуждаем по аналогии:

$\log_a \bigg ( \dfrac{ \pi }{4} \bigg )$ - существует и больше ноля (так как $0$ и $0< \pi / 4 < 1$ ). Основание и подлогарифмическое выражение не только соответствуют ОДЗ, но и оба меньше единицы.

$\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$ - тоже существует, так как 0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> и $a \ne 1$ , а также подлогарифмическое выражение больше ноля.

Итог: выражение $\log_a \bigg ( \log_a \bigg ( \dfrac{ \pi}{4} \bigg ) \bigg )$ имеет смысл.

C)

Решаем с использованием уже оговоренных схем:

$\log_2 3$ - существует и больше единицы (так как 2>1" alt="3>2>1" align="absmiddle" class="latex-formula">).

$\log_a ( \log_23)$ - существует и меньше ноля (так как 1" alt="\log_23 > 1" align="absmiddle" class="latex-formula"> и $a$ ).

$\log _2 ( \log_a ( \log_23) )$ - не очень хорошо существует, в силу отрицательности подлогарифмического выражения.

Итог: выражение не имеет смысла.

D)

$\log_{10} a$ - существует и меньше ноля (так как 1" alt="10>1" align="absmiddle" class="latex-formula"> и $a$ ).

$\log_{10} ( \log_{10}a)$ - не существует, так как $\log_{10} a < 0$ .

$\log _{10} ( \log_{10} ( \log_{10}a) )$ - не существует, так как уже его подлогарифмическое выражение не существует.

Итог: выражение не имеет смысла.

Ответ : B ) .

Участник Знаний_zn · Answer 2 · 2024-08-18T16:06:37+0000

А) не имеет. т.к. ㏒ₐ(а+1) отрицательно, и ㏒₂( ㏒ₐ(а+1)) не имеет смысла.

В) ㏒ₐ(π/4) >0; ㏒ₐ(㏒ₐ(π/4)) имеет смысл.

С) ㏒₂3 положительно, ㏒ₐ(㏒₂3) отрицательно. поэтому ㏒₂(㏒ₐ(㏒₂3)) смысла не имеет.

D) (㏒₁₀а) отрицателен, поэтому (㏒₁₀(㏒₁₀а)) уже не имеет смысла, а уж ㏒₁₀(㏒₁₀(㏒₁₀а)) и тем более не имеет смысла.

Ответ В)

Дополнение. Если основание логарифма больше 1, а подлогарифмическое значение больше нуля, но меньше 1, то логарифм отрицат. и обратно, а если основание логарифма больше нуля, но меньше 1, и подлогарифмическое значение больше нуля, но меньше 1, то логарифм положителен. или если оба больше единицы.