Граната, брошенная с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, в верхней точке...

+956 голосов
4.3m просмотров

Граната, брошенная с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, в верхней точке своей траектории разорвалась на множество осколков, которые в системе отсчета, связанной с гранатой, летят во все стороны с одинаковыми скоростями. Известно, что осколки падали на землю в течение времени ∆t. Через какое время после взрыва упал на землю самый первый осколок? Помогите пожалуйста!!! Даю 100 баллов

Физика (52 баллов) | 4.3m просмотров
Дан 1 ответ
+89 голосов
Правильный ответ

Ответ:

t_H=\frac{\Delta t}{2}(\sqrt{1+\frac{4v_0^2sin^2\alpha }{\Delta t^2g^2}} -1)

Объяснение:

Очевидно, что первым на землю упадет осколок, летящий вниз, последним - вверх. Рассчитаем их времена падения (для удобства временно примем направление оси у вниз)

-нижнего

v't_H+\frac{gt_H^2}{2}-H=0

решаем получившееся квадратное уравнение

D=b^2-4ac=v'^2+4*\frac{g}{2}H =v'^2+2gH

корни

t_H=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a}=\frac{-v'\pm\sqrt{v'^2+2gH} }{g}

Отрицательное время отбрасываем (ясно что v' при ненулевых H)

t_H=\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}

-верхнего

-v't_B+\frac{gt_B^2}{2}-H=0

D=v'^2+2gH

t_B=\frac{v'\pm\sqrt{v'^2+2gH} }{g}

положительное время

t_B=\frac{v'+\sqrt{v'^2+2gH} }{g}

Интервал падения осколков

\Delta t=t_B-t_H=\frac{v'+\sqrt{v'^2+2gH} }{g}-\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}=\frac{2v'}{g}

Откуда скорость осколков

v'=\frac{g\Delta t}{2}

Высоту подъема Н легко посчитать из известной формулы

H=\frac{v_0^2sin^2\alpha }{2g}

Тогда

v't_H+\frac{gt^2}{2}=H

или

\frac{g\Delta t}{2}t_H+\frac{gt_H^2}{2}=\frac{v_0^2sin^2\alpha }{2g}

Решать это уравнение еще раз нет надобности, оно уже решено

t_H=\frac{\sqrt{v'^2+2gH} -v'}{g}=\frac{\sqrt{\frac{g^2\Delta t^2}{4} +v_0^2sin^2\alpha } -\frac{g\Delta t}{2} }{g}=\sqrt{\frac{\Delta t^2}{4}+\frac{v_0^2sin^2\alpha }{g^2} }-\frac{\Delta t}{2}=

=\frac{\Delta t}{2}(\sqrt{1+\frac{4v_0^2sin^2\alpha }{\Delta t^2g^2}} -1).

(20.7k баллов)
Похожие задачи