Стороны треугольника ABC равны AB=5, BC=10, AC=7. В вершине C находится масса 10. Какие...

Question

Стороны треугольника ABC равны AB=5, BC=10, AC=7. В вершине C находится масса 10. Какие массы нужно поместить в вершины A и B, чтобы центр масс попал в точку пересечения биссектрис треугольника ABC? В точку A необходимо поместить массу В точку B необходимо поместить массу

Answer 1

Ответ:

mA =20 ед. mB = 14 ед.

Объяснение:

Теорема о группировке масс:  "Если часть материальных точек заменить точкой, расположенной в их центре масс  и имеющей ненулевую массу, равную сумме масс этих точек, то центр масс всех точек не изменится".

По условию, для каждой стороны центр масс ДОЛЖЕН находиться в точке, в которой биссектриса противолежащего угла пересекает эту сторону.

АК/КС =1/2 (свойство биссектрис). => АК = 7/3. KC = 14/3.

ВР/РС =5/7 (свойство биссектрис). => ВР = 5/12. KC = 7/12.

Для обеспечения равновесия массы в точках А и С ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ длинам рычагов, то есть  

mA·AK = 10·KC  =>  mA = 10·(14/3)/(7/3) = 20 ед.

Аналогично, mB·BP = 10·PC  =>  mB= 10·(7/12)/(5/12) = 14 ед.

Проверим: mB·BM = mA·AM  =>  20= 14·(50/17)/(35/17) ?

20 = 20.

Comments

По векторному расчёту тоже А = 20, В = 14.

---

20 и 14 не являются правильными

---

Раз в задании даны грузы, то это задача из теормеха на равенство моментов сил относительно точки О. Надо найти плечи сил и составить 2 уравнения по оси Ох и Оу на равенство моментов. Зря удалили комментарий, в котором дан результат расчёта.

---

Да вот и решение по Менелаю: В треугольнике ВСМ: (ВР/РС)·(СО/ОМ)·(МА/АВ) = 1. => СО/ОМ = 17/5 (ВР/РС=5/7 и МА/АВ=7/17 - по свойству биссектрис). Тогда СО·10 = ОМ·mM => mM=34. Масса в точке М - сумма масс точек А и В. АМ/МВ = 7/10, а массы обратно пропорциональны длине рычагов (векторов, если хотите). => mB= (34/17)·10 = 20. mA = (34/17)·7 = 14.

---

А почему НАДО? Теорема о группировке масс Вас не убеждает? Хорошо, проверим так: По теореме Менелая для треугольника АВК:
(АМ/МВ)·(ВО/ОК)·(КС/СА) = 1. => ВО/ОК = 30/14. (АМ/МВ=7/10 и КС/СА=2/3 - по свойству биссектрис).
Масса в точке К = mА+mC = 30. Масса в точке В = 14.
должно быть: mB·BO = mK·OK => 14·30 = 30·14. OK. Аналогично и для других "рычагов": АО/ОР и СО/ОМ.